【国家総合職過去問解答】2023専門記述試験 熱工学

今回は国家総合職採用試験工学区分の熱力学の解説をしていきます。

間違っているかもあしれませんが解答の参考にしてください。

問題は載せていませんし、インターネット上では得ることは難しいと思います。

問題が欲しい方は　iguana41014@gmail.com　に連絡してください。

問題の難易度

全体的に基本的なことをきかれているので、落ち着いて解きましょう。 しかし(4)は題意が分かりにくく、問題が何をきいているのか、なにを答えればよいか迷ってしまいます。 私自身も(4)の解答は自信がありません。 (3)までをしっかりと確実に解答し、(4)はわかるところだけを解答すれば十分合格です。

解答本文

(1)エントロピー変化の問題

公式通りに計算しましょう。

(a)

(i)

$$ p=\frac{mRT}{V} $$

(ii)

$$ \begin{split} d Q&=c_{v}mdT+pdV\\ &=c_{v}mdT+\frac{mRT}{V}dV \end{split} $$

(b)

$$ \begin{split} d S&=\frac{d Q}{T}\\ &=\frac{c_{v}m}{T}dT+\frac{mR}{V}dV \end{split} $$ よって積分して

\begin{split} \Delta S&=\int_{T_{1}}^{T_{2}}c_{v}m\frac{1}{T}dT+\int_{V_{1}}^{V_{2}}m R\frac{1}{V}d V\\ &=c_{v}m ln\left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right)+m R ln\left(\frac{V_{2}}{V_{1}}\right)\ \end{split}

(2)

この問題も公式に当てはめるだけです。

(a)

エネルギー保存より

\begin{split} mc(T_{A}-T_{E})&=mc(T_{E}-T_{B})\ T_{E}&=\frac{T_{A}+T_{B}}{2} \end{split}

(b)

定積変化よりSはいかのようになります。

\begin{split} dS&=\frac{d Q}{T}\ &=\frac{mcdT}{T} \end{split}

両辺を積分して

\begin{split} |\Delta S_{A}|&=mc \biggl|\int_{T_{A}}^{T_{E}} \frac{1}{T}dT\biggr|\\ &=mc\biggl|ln\left(\frac{T_{E}}{T_{A}}\right)\biggr|\\ &=mcln\left(\frac{T_{A}}{T_{E}}\right) \end{split}

ここで絶対値を外すときに注意しましょう。$T_{A}>T_{E}>T_{B}$であるので、$ln\left(\frac{T_{A}}{T_{E}}\right)>0$となり絶対値を外します。

(c)

同じように $$ |\Delta S_{B}|=mcln\left(\frac{T_{E}}{T_{B}}\right) $$

(d)

大小比較は差が正、負になるかを考えるのが定石です。

\begin{split} |\Delta S_{A}|-|\Delta S_{B}|&=mc\left(ln\left(\frac{T_{A}}{T_{E}}\right)-ln\left(\frac{T_{E}}{T_{B}}\right)\right)\\ &=mcln\left(\frac{T_{A}T_{B}}{T_{E}^{2}}\right) \end{split}

よってlnの中身が1より大きいか小さいかを考えればいいことが分かります。

\begin{split} T_{A}T_{B}-T_{E}^{2}&=T_{A}T_{B}-\frac{(T_{A}+T_{B})^{2}}{4} \ &=-\frac{(T_{A}-T_{B})^{2}}{4} <0 \end{split}

つまり$T_{A}T_{B}<T_{E}^{2}$となるので$|\Delta S_{A}|<|\Delta S_{B}|$になる

(3)

再生サイクルの問題です。熱を再利用する場合はその分の吸熱と放出は除外されます。熱効率は向上し、理想的な再生サイクルではカルノー効率へ収束します。

(a)

\begin{split} Q_{23}&=\Delta U+\Delta W\\ &=c_{v}(T_{3}-T_{2}) \end{split}

\begin{split} Q_{34}&=\Delta U+ \Delta W\\ &=\int_{V_{3}}^{V_{4}} pdV\\ &=\int_{V_{3}}^{V_{4}} RT_{3}\frac{1}{V}dV\\ &=RT_{3}ln\left(\frac{V_{4}}{V_{3}}\right) \end{split}

(b)

\begin{split} |Q_{41}|&=|\Delta U+\Delta W|\\ &=c_{v}(T_{4}-T_{1})\\ &=c_{v}(T_{3}-T_{1})\\ &=Q_{23} \end{split}

(c)

\begin{split} \eta &=1-\frac{Q_{out}}{Q_{in}}\\ &=1-\frac{|Q_{12}|+|Q_{41}|}{Q_{23}+Q_{34}}\\ \end{split} ここで$|Q_{12}|$をもとめます。

\begin{split} |Q_{12}|&=\int_{V_{2}}^{V_{1}} pd V \\ &=\int_{V_{2}}^{V_{1}} \frac{RT_{1}}{V}d V\\ &=RT_{1}ln\left(\frac{V_{1}}{V_{2}}\right) \end{split}

よってそれぞれを代入します。このとき、$V_{3}=V_{2}　　V_{4}=V_{1}$に注意して整理します。 \begin{split} \eta &=1-\frac{c_{v}(T_{3}-T_{2})+RT_{1}ln\left(\frac{V_{1}}{V_{2}}\right)}{c_{v}(T_{3}-T_{2})+RT_{3}ln\left(\frac{V_{4}}{V_{3}}\right)}\\ &=1-\frac{c_{v}(T_{3}-T_{1})+RT_{1}ln\varepsilon }{c_{v}(T_{3}-T_{1})+RT_{3}ln\varepsilon }\\ &=\frac{Rln\varepsilon (T_{3}-T_{1})}{c_{v}(T_{3}-T_{1})+RT_{3}ln\varepsilon } \end{split}

(d)

再生サイクルの問題。放熱の一部を吸熱に使用しているため、その部分は全体でみると相殺される。 よって

\begin{split} \acute{Q_{in}}&=Q_{34}\\ \acute{Q_{out}}&=Q_{12} \end{split}

となるので熱効率は \begin{split} \acute{\eta}&= 1-\frac{\acute{Q_{in}}}{\acute{Q_{out}}}\ &=1-\frac{|Q_{12}|}{Q_{34}}\ &=1-\frac{RT_{1}ln\varepsilon}{RT_{3}ln\varepsilon}\ &=1-\frac{T_{1}}{T_{3}} \end{split} このように再生サイクルでは熱効率が向上し、カルノー効率になっています。

(4)不可逆変化のエントロピー変化の問題

基本的に断熱変化では等エントロピー変化です。 しかし不可逆断熱膨張などはエントロピーが増大します。そのエントロピー変化量は不可逆過程を積分できないので、可逆変化過程から求めることになります。 今回の問題は誘導に従えば解答できますが、後半は解答に私自身もわかりませんでした。わかる方はコメントで教えていただきたいです。

(a)

(i)

可逆変化の等エントロピー変化より$dS=\frac{dQ}{T}=0$となる。 断熱変化であり、平衡状態なのでポアソンの法則より

\begin{split} pv^{\kappa}&=const.\\ p\left(\frac{RT}{p}\right)^{\kappa}&=const.\\ p^{1-\kappa}T^{\kappa}&=const.\\ p^{\frac{1-\kappa}{\kappa}}T&=const. \end{split}

よって

\begin{split} p_{0}^{\frac{1-\kappa}{\kappa}}T_{0}&=p_{1}^{\frac{1-\kappa}{\kappa}}T_{1}\\ T_{1}&=\left(\frac{p_{0}}{p_{1}}\right)^{\frac{1-\kappa}{\kappa}}T_{0} \end{split}

(ii)

工業仕事は$-\int vdp $と定義されますがこれは気体がする仕事です。 問題で聞かれているものは圧縮機がする仕事であるため$\int vdp $になることに注意しましょう。

今断熱過程であるため \begin{split} dq&=du+pdv\\ &=dh-vdp=0 (\because dh=du+d(pv))\\ dh&=vdp \end{split} つまり、求める工業仕事はエンタルピーの変化量に等しい。 よって \begin{split} \int_{p_{0}}^{p_{1}}vdp&=h_{1}-h_{0}\\ &=p_{1}v_{1}+c_{v}T_{1}-p_{0}v_{0}-c_{v}T_{0}\\ &=RT_{1}+c_{v}T_{1}-RT_{0}-c_{v}T_{0}\\ &=c_{p}(T_{1}-T_{0})\\ &=c_{p}\left\lbrace \left(\frac{p_{0}}{p_{1}}\right)^{\frac{1-\kappa}{\kappa}}-1\right\rbrace T_{0} \end{split} (別解) もちろん$\int vdp$を直接計算することもできます。 計算が煩雑なので省略します。

(b)

(i)

(1)(a)(ii)と同じように \begin{split} \Delta S&=c_{v}ln\left(\frac{T_{\acute{1}}}{T_{0}}\right)+Rln\left(\frac{V_{\acute{1}}}{V_{0}}\right) \\ \end{split} ここで

\begin{split} p_{0}V_{0}&=RT_{0}\\ p_{\acute{1}}V_{\acute{1}}&=RT_{\acute{1}} \end{split}

よって $$ \frac{V_{\acute{1}}}{V_{0}}=\frac{T_{\acute{1}}}{T_{0}}\frac{p_{0}}{p_{\acute{1}}} $$ この関係式を代入して \begin{split} \Delta S &=c_{v}ln\left(\frac{T_{\acute{1}}}{T_{0}}\right)+R\left\lbrace ln\left(\frac{T_{\acute{1}}}{T_{0}}\right)+ln\left(\frac{p_{0}}{p_{\acute{1}}}\right)\right\rbrace \\ &=c_{p}ln\left(\frac{T_{\acute{1}}}{T_{0}}\right)+Rln\left(\frac{p_{0}}{p_{1}}\right) \end{split}

(ii)

(iii)

\begin{split} \Delta s&=s_{\acute{1}}-s_{1}=c_{p}ln\left(\frac{T_{\acute{1}}}{T_{0}}\right)+Rln\left(\frac{p_{0}}{p_{1}}\right)\\ \frac{s_{\acute{1}}-s_{1}}{c_{p}}&=ln\left\lbrace \frac{T_{\acute{1}}}{T_{0}}\left(\frac{p_{0}}{p_{\acute{1}}}\right)^{\frac{R}{c_{p}}}\right\rbrace\\ \exp\left(\frac{s_{\acute{1}}-s_{1}}{c_{p}}\right)&=\frac{T_{\acute{1}}}{T_{0}}\left(\frac{p_{0}}{p_{\acute{1}}}\right)^{\frac{R}{c_{p}}}\\ T_{\acute{1}}&=\exp\left(\frac{s_{\acute{1}}-s_{1}}{c_{p}}\right)T_{0}\left(\frac{p_{0}}{p_{\acute{1}}}\right)^{-\frac{R}{c_{p}}}\\ &=T_{1}\exp\left(\frac{s_{\acute{1}}-s_{1}}{c_{p}}\right)　\left(\because T_{1}=\left(\frac{p_{0}}{p_{1}}\right)^{\frac{1-\kappa}{\kappa}}T_{0},　-\frac{R}{c_{p}}=\frac{1-\kappa}{\kappa} \right) \end{split}

(iv)

この問題の意図がよくわかりません。自身がないので参考程度にお願いします。

増減をきいているわけですから、変数で偏微分をすればいいと思います。

\begin{split} \Delta s&=c_{p}ln\left\lbrace\frac{T_{\acute{1}}}{T_{0}}\left(\frac{p_{0}}{p_{1}}\right)^{\frac{\kappa-1}{\kappa}}\right\rbrace\\ \end{split}

このように$\Delta s$は表せます。どの変数で偏微分するかですが、定数である$c_{p},\kappa $は除外されます。よって、偏微分する変数は$T_{0},T_{\acute{1}},p_{1},p_{0}$。 結果的に$T_{\acute{1}},p_{0}$については増加するにつれて$\Delta s$も増加する $T_{0},p_{1}$は逆に減少します。

どこまで記述すればいいのかわかりませんがだいたいでいいのではないでしょうか。

(v)

\begin{split} T_{\acute{1}}&=T_{0}\left(\frac{p_{0}}{p_{1}}\right)^{\frac{1-\kappa}{\kappa}}\exp\left(\frac{s_{\acute{1}}-s_{0}}{c_{p}}\right)\\ \end{split}